\documentclass[handout]{slide}


\renewcommand{\mytitle}{第十章\quad 重积分}
\renewcommand{\mysubtitle}{第一节\quad 二重积分的概念与性质}
\graphicspath{{./images}}
\begin{document}

\section{二重积分的概念}
\begin{frame}{曲顶柱体的体积}

\begin{wrapfigure}{r}{.3\textwidth}
\centering
\includegraphics[max width=.3\textwidth]{2024_01_20_794ec3ddb03761f46f40g-01}
\caption*{图 10-1}
\end{wrapfigure}

\pause
设有一立体，它的底是 $x O y$ 面上的闭区域
\footnote{ 
为简便起见，本章以后除特别说明者外，都假定平面闭区域和空间闭区域是有界的，且平面闭区域有有限面积，空间闭区域有有限体积。
}
$D$  它的侧面是以 $D$ 的边界曲线为准线而母线平行于 $z$ 轴的柱面， 它的顶是曲面 $z=f(x, y)$, 这里 $f(x, y) \geqslant 0$ 且在 $D$ 上连续 (图 10-1). 这种立体叫做\emph{曲顶柱体}。 现在我们来讨论如何定义并计算上述曲顶柱体的体积 $V$ 公式。

\pause
我们知道，平顶柱体（如长方体、圆柱体）的高是不变的，它的体积可以用
\[
\text { 体积 }=\text { 高 } \times \text { 底面积 }
\]
来定义和计算。 关于曲顶柱体， 当点 $(x, y)$ 在区域 $D$ 上变
动时， 高度 $f(x, y)$ 是个变量， 因此它的体积不能直接用上式来定义和计算。但如果回忆起第五章中求曲边梯形面积的问题， 就不难想到， 那里所采用的解决办法， 原则上可以用来解决目前的问题。

\end{frame}

\begin{frame}
\begin{wrapfigure}{r}{.3\textwidth}
\centering
\includegraphics[max width=.3\textwidth]{2024_01_20_794ec3ddb03761f46f40g-02}
\caption*{图 10-2} 
\end{wrapfigure}

\pause
首先，用一组曲线网把 $D$ 分成 $n$ 个小闭区域
\[
\Delta \sigma_{1}, \Delta \sigma_{2}, \cdots, \Delta \sigma_{n}
\]
分别以这些小闭区域的边界曲线为准线，作母线平行于 $z$ 轴的柱面，这些柱面把原来的曲顶柱体分为 $n$ 个细曲顶柱体。 当这些小闭区域的直径(1)很小时， 由于 $f(x, y)$ 连续，对同一个小闭区域来说， $f(x, y)$ 变化很小，这时细曲顶柱体可近似看做平顶柱体。 
\pause
我们在每个 $\Delta \sigma_{i}$ (这个小闭区域的面积也记作 $\Delta \sigma_{i}$ ) 中任取一点 $\left(\xi_{i}, \eta_{i}\right)$, 以 $f\left(\xi_{i}, \eta_{i}\right)$ 为高而底为 $\Delta \sigma_{i}$ 的平顶柱体 (图 10-2) 的体积为
\[
f\left(\xi_{i}, \eta_{i}\right) \Delta \sigma_{i} \quad(i=1,2, \cdots, n)
\]
\pause
这 $n$ 个平顶柱体体积之和
\[
\sum_{i=1}^{n} f\left(\xi_{i}, \eta_{i}\right) \Delta \sigma_{i}
\]
可以认为是整个曲顶柱体体积的近似值。 
\pause
令 $n$ 个小闭区域的直径中的最大值 (记作 $\lambda$ ) 趋于零， 取上述和的极限， 所
得的极限便自然地定义为所论曲顶柱体的体积 $V$, 即
\[
  V=\lim _{\lambda \rightarrow 0} \sum_{i=1}^{n} f\left(\xi_{i}, \eta_{i}\right) \Delta \sigma_{i}.
\]
\end{frame}

\begin{frame}{平面薄片的质量}

设有一平面薄片占有 $x O y$ 面上的闭区域 $D$, 它在点 $(x, y)$ 处的面密度为 $\mu(x, y)$,这里 $\mu(x, y)>0$ 且在 $D$ 上连续。 现在要计算该薄片的质量 $m$.

我们知道， 如果薄片是均匀的， 即面密度是常数， 那么薄片的质量可以用公式
\[
\text { 质量 }=\text { 面密度 } \times \text { 面积 }
\]
来计算。 现在面密度 $\mu(x, y)$ 是变量，薄片的质量就不能直接用上式来计算。但是上面用来处理曲顶柱体体积问题的方法完全适用于本问题。

由于 $\mu(x, y)$ 连续，把薄片分成许多小块后， 只要小块所占的小闭区域 $\Delta \sigma_{i}$ 的直径很小，这些小块就可以近似地看做均匀薄片。 在 $\Delta \sigma_{i}$ 上任取一点 $\left(\xi_{i}, \eta_{i}\right)$, 则
\[
\mu\left(\xi_{i}, \eta_{i}\right) \Delta \sigma_{i} \quad(i=1,2, \cdots, n)
\]
可看做第 $i$ 个小块的质量的近似值 (图 10-3). 通过求和、取极限， 便得出
\footnotetext{(1) 一个闭区域的直径是指区域上任意两点间距离的最大者。
}
\[
m=\lim _{\lambda \rightarrow 0} \sum_{i=1}^{n} \mu\left(\xi_{i}, \eta_{i}\right) \Delta \sigma_{i}
\]
\end{frame}


\begin{frame}{二重积分的定义}
  \pause
上面两个问题的实际意义虽然不同， 但所求量都归结为同一形式的和的极限。 在物理、力学、几何和工程技术中， 有许多物理量或几何量都可归结为这一形式的和的极限。 因此我们要一般地研究这种和的极限， 并抽象出下述二重积分的定义：
\pause
\begin{definition*}
设 $f(x, y)$ 是有界闭区域 $D$ 上的有界函数。
 将闭区域 $D$ 任意分成 $n$ 个小闭区域
\[
\Delta \sigma_{1}, \Delta \sigma_{2}, \cdots, \Delta \sigma_{n}
\]
其中 $\Delta \sigma_{i}$ 表示第 $i$ 个小闭区域， 也表示它的面积。 在每个 $\Delta \sigma_{i}$ 上任取一点 $\left(\xi_{i}, \eta_{i}\right)$, 作乘积 $f\left(\xi_{i}, \eta_{i}\right) \Delta \sigma_{i}(i=1,2, \cdots, n)$, 并作和 $\sum_{i=1}^{n} f\left(\xi_{i}, \eta_{i}\right) \Delta \sigma_{i}$. 
\pause
如果当各小闭区域的直径中的最大值 $\lambda \rightarrow 0$ 时， 这和的极限总存在， 且与闭区域 $D$ 的分法及点 $\left(\xi_{i}, \eta_{i}\right)$ 的取法无关，那么称此极限为函数 $f(x, y)$ 在闭区域 $D$ 上的二重积分， 记作 $\iint_{D} f(x, y) \mathrm{d} \sigma$, 即
\[
\iint_{D} f(x, y) \mathrm{d} \sigma=\lim _{\lambda \rightarrow 0} \sum_{i=1}^{n} f\left(\xi_{i}, \eta_{i}\right) \Delta \sigma_{i} .
\]
\pause
其中 $f(x, y)$ 叫做\emph{被积函数}， $f(x, y) \mathrm{d} \sigma$ 叫做\emph{被积表达式}， $\mathrm{d} \sigma$ 叫做\emph{面积元素}， $x$ 与 $y$ 叫做\emph{积分变量}， $D$ 叫做\emph{积分区域}， $\sum_{i=1}^{n} f\left(\xi_{i}, \eta_{i}\right) \Delta \sigma_{i}$ 叫做\emph{积分和}。
\end{definition*}
\end{frame}

\begin{frame}
  \begin{figure}
    \centering
  \includegraphics[max width=.3\textwidth]{2024_01_20_794ec3ddb03761f46f40g-03}
\caption*{图 10-3}
\end{figure}

\pause
在二重积分的定义中对闭区域 $D$ 的划分是任意的， 如果在直角坐标系中用平行于坐标轴的直线网来划分 $D$, 那么除了包含边界点的一些小闭区域外%
\footnote{求和的极限时， 这些小闭区域所对应的项的和的极限为零， 因此这些小闭区域可以略去不计。}，
其余的小闭区域都是矩形闭区域。 设矩形闭区域 $\Delta \sigma_{i}$ 的边长为 $\Delta x_{j}$ 和 $\Delta y_{k}$, 则 $\Delta \sigma_{i}=\Delta x_{j} \cdot \Delta y_{k}$. 因此在直角坐标系中， 有时也把面积元素 $\mathrm{d} \sigma$ 记作 $\mathrm{d} x \mathrm{d} y$, 而把二重积分记作
\[
\iint_{D} f(x, y) \mathrm{d} x \mathrm{d} y
\]
其中 $\mathrm{d} x \mathrm{~d} y$ 叫做\emph{直角坐标系中的面积元素}。

\pause
这里我们要指出， 当 $f(x, y)$ 在闭区域 $D$ 上连续时， (1-1) 式右端的和的极限必定存在， 也就是说， 函数 $f(x, y)$ 在 $D$ 上的二重积分必定存在， 即函数 $f(x, y)$ 在 $D$ 上必定可积。 以后我们总假定函数 $f(x, y)$ 在闭区域 $D$ 上可积。
\end{frame}

\begin{frame}

由二重积分的定义可知， 曲顶柱体的体积是函数 $f(x, y)$ 在底 $D$ 上的二重积分
\[
V=\iint_{D} f(x, y) \mathrm{d} \sigma
\]
平面薄片的质量是它的面密度 $\mu(x, y)$ 在薄片所占闭区域 $D$ 上的二重积分
\[
  m=\iint_{D} \mu(x, y) \mathrm{d} \sigma.
\]

\pause
一般地，如果 $f(x, y) \geqslant 0$, 被积函数 $f(x, y)$ 可以解释为曲顶柱体的顶在点 $(x, y)$ 处的坚坐标，所以二重积分的几何意义就是柱体的体积。 如果 $f(x, y)$ 是负的，柱体就在 $x O y$ 面的下方， 二重积分的绝对值仍等于柱体的体积， 但二重积分的值是负的。 如果 $f(x, y)$ 在 $D$ 的若干部分区域上是正的， 而在其他的部分区域上是负的，那么， $f(x, y)$在 $D$ 上的二重积分就等于 $x O y$ 面上方的柱体体积减去 $x O y$ 面下方的柱体体积所得之差。
\end{frame}

\section{二重积分的性质}


\begin{frame}{二重积分的性质}

  \pause
比较定积分与二重积分的定义可以想到，二重积分与定积分有类似的性质， 现叙述于下：

\begin{theorem*}[性质 1]
  设 $\alpha$ 与 $\beta$ 为常数， 则
\[
\iint_{D}[\alpha f(x, y)+\beta g(x, y)] \mathrm{d} \sigma=\alpha \iint_{D} f(x, y) \mathrm{d} \sigma+\beta \iint_{D} g(x, y) \mathrm{d} \sigma .
\]
\end{theorem*}
\pause
\begin{theorem*}[性质 2]
  如果闭区域 $D$ 被有限条曲线分为有限个部分闭区域， 那么在 $D$ 上的二重积分等于在各部分闭区域上的二重积分的和。
\end{theorem*}

例如 $D$ 分为两个闭区域 $D_{1}$ 与 $D_{2}$, 则
\[
\iint_{D} f(x, y) \mathrm{d} \sigma=\iint_{D_{1}} f(x, y) \mathrm{d} \sigma+\iint_{D_{2}} f(x, y) \mathrm{d} \sigma .
\]

这个性质表示二重积分对于积分区域具有可加性。

\end{frame}

\begin{frame}
  \pause
\begin{theorem*}[性质 3]
如果在 $D$ 上， $f(x, y)=1$, $\sigma$ 为 $D$ 的面积， 那么
\[
\sigma=\iint_{D} 1 \cdot \mathrm{d} \sigma=\iint_{D} \mathrm{~d} \sigma
\]
\end{theorem*}
这性质的几何意义很明显：高为 $1$ 的平顶柱体的体积在数值上就等于柱体的底面积。

\pause
  \begin{theorem*}[性质 4]
    如果在 $D$ 上， $f(x, y) \leqslant g(x, y)$, 那么有
  \[
  \iint_{D} f(x, y) \mathrm{d} \sigma \leqslant \iint_{D} g(x, y) \mathrm{d} \sigma
\]
  特别地，由于
\[
-|f(x, y)| \leqslant f(x, y) \leqslant|f(x, y)|
\]
又有
\[
\left|\iint_{D} f(x, y) \mathrm{d} \sigma\right| \leqslant \iint_{D}|f(x, y)| \mathrm{d} \sigma .
\]
\end{theorem*}
\end{frame}

\begin{frame}
\begin{theorem*}[性质 5]
  设 $M$ 和 $m$ 分别是 $f(x, y)$ 在闭区域 $D$ 上的最大值和最小值， $\sigma$ 是 $D$ 的面积， 则有
\[
m \sigma \leqslant \iint_{D} f(x, y) \mathrm{d} \sigma \leqslant M \sigma
\]
\end{theorem*}
\pause
上述不等式是对于二重积分估值的不等式。 因为 $m \leqslant f(x, y) \leqslant M$, 所以由性质 4 有
\[
\iint_{D} m \mathrm{~d} \sigma \leqslant \iint_{D} f(x, y) \mathrm{d} \sigma \leqslant \iint_{D} M \mathrm{~d} \sigma
\]
再应用性质 1 和性质 3, 便得此估值不等式。

\pause
  \begin{theorem*}[性质 6 (二重积分的中值定理)] 设函数 $f(x, y)$ 在闭区域 $D$ 上连续， $\sigma$ 是 $D$ 的面积， 则在 $D$ 上至少存在一点 $(\xi, \eta)$, 使得
  \[
  \iint_{D} f(x, y) \mathrm{d} \sigma=f(\xi, \eta) \sigma .
\]
\end{theorem*}

\end{frame}

\begin{frame}
  \begin{proof*}[性质6的证明]
显然 $\sigma \neq 0$. 把性质 5 中不等式各除以 $\sigma$,有
\[
m \leqslant \frac{1}{\sigma} \iint_{D} f(x, y) \mathrm{d} \sigma \leqslant M
\]
这就是说， 确定的数值 $\frac{1}{\sigma} \iint_{D} f(x, y) \mathrm{d} \sigma$ 是介于函数 $f(x, y)$ 的最大值 $M$ 与最小值 $m$ 之间的。 根据在闭区域上连续函数的介值定理， 在 $D$ 上至少存在一点 $(\xi, \eta)$, 使得函数在该点的值与这个确定的数值相等， 即
\[
\frac{1}{\sigma} \iint_{D} f(x, y) \mathrm{d} \sigma=f(\xi, \eta) .
\]
上式两端各乘 $\sigma$, 就得所需要证明的公式。
\end{proof*}
\end{frame}
\begin{frame}

\begin{example}
估计二重积分 $I=\iint_{D}(x+y+10) \mathrm{d} \sigma$ 的值， 其中 $D=\left\{(x, y) \mid(x-2)^{2}+\right.$ $\left.(y-1)^{2} \leqslant 2\right\}$.
\end{example}
\pause
\begin{solution}
按照二重积分的性质 5 , 估计二重积分的值， 关键是要确定被积函数 $f(x, y)$在积分区域 $D$ 上的最大值和最小值。 本例中， 被积函数 $f(x, y)=x+y+10$ 的图形是一张平面。容易知道， 它在 $D$ 上的最大值、最小值均在 $D$ 的边界上取得， 所以， 只需考虑它在 $D$ 的边界上的取值情形。

$D$ 的边界曲线 $L$ 的参数方程为
\[
  \left\{\begin{array}{l}
          x=2+\sqrt{2} \cos t, \\
              y=1+\sqrt{2} \sin t
              \end{array} \quad t \in[0,2 \pi]\right.
          \]
        因此在 $L$ 上，有
        \[
        f(x, y)=\sqrt{2}(\cos t+\sin t)+13=2 \sin \left(t+\frac{\pi}{4}\right)+13
    \]
  便得
  \[
  11 \leqslant f(x, y) \leqslant 15
\]
区域 $D$ 的面积 $\sigma=2 \pi$,于是
\[
22 \pi \leqslant I \leqslant 30 \pi .
\]
\end{solution}

\end{frame}


\begin{frame}
  \begin{example}
  设 $f(x, y)$ 在闭区域 $D$ 上连续， $D$ 关于 $x$ 轴和 $y$ 轴均对称， 记 
  \[
    D_{1}=\{(x, y) \mid(x, y) \in D, x \geqslant 0, y \geqslant 0\},
  \]
  二重积分 
  \[
    I=\iint_{D} f(x, y) \mathrm{d} \sigma=4 \iint_{D_{1}} f(x, y) \mathrm{d} \sigma
  \]
  成立的条件是下列条件中的哪一个?

(1) $f(x, y)$ 关于 $x$ 是奇函数， 关于 $y$ 是偶函数， 即
\[
f(-x, y)=-f(x, y), \quad f(x,-y)=f(x, y), \quad(x, y) \in D
\]

(2) $f(-x, y)=f(x, y), f(x,-y)=f(x, y),(x, y) \in D$;

(3) $f(-x, y)=f(x, y), f(x,-y)=-f(x, y),(x, y) \in D$;

(4) $f(-x, y)=-f(x, y), f(x,-y)=-f(x, y),(x, y) \in D$.
\end{example}
\pause
\begin{solution}
(2) 中的函数 $f(x, y)$ 关于 $x$ 、关于 $y$ 均是偶函数， 而积分区域 $D$ 关于 $y$ 轴、 $x$轴均对称， 由二重积分对于积分区域的可加性和几何意义，可知题中给出的积分等式成立，其余三种条件下，积分等式均不成立。例如条件 (1) 和 (4), $f(x, y)$ 关于 $x$ 是奇函数， 而积分区域 $D$ 关于 $y$ 轴对称， 即知 $I=0$; 同理， 条件 $(3), f(x, y)$ 关于 $y$ 是奇函数，而积分区域 $D$ 关于 $x$ 轴对称， 即知 $I=0$.
\end{solution}
\end{frame}
\end{document}
